14. Найдите производную f(x) = arctg eˣ.

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \arctan(e^x) \) используем правило дифференцирования сложной функции. Производная \( \arctan(u) \) равна \( \frac{1}{1+u^2} \cdot u' \).

Здесь \( u = e^x \), а \( u' = (e^x)' = e^x \).

Применяем формулу:

\[ f'(x) = \frac{1}{1 + (e^x)^2} \cdot (e^x)' \]\[ f'(x) = \frac{1}{1 + e^{2x}} \cdot e^x \]\[ f'(x) = \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \]

Ответ: \( f'(x) = \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \).