15. Решите уравнение z² + (1-2i)z-3-i = 0.

Решение:

Это квадратное уравнение вида \( az^2 + bz + c = 0 \) с комплексными коэффициентами. Здесь \( a = 1 \), \( b = 1 - 2i \), \( c = -3 - i \).

Найдём дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (1 - 2i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3 - i) \]\[ D = (1 - 4i + (2i)^2) - (-12 - 4i) \]\[ D = (1 - 4i - 4) + 12 + 4i \]\[ D = (-3 - 4i) + 12 + 4i \]\[ D = 9 \]

Теперь найдём квадратный корень из дискриминанта \( \sqrt{D} = \sqrt{9} = 3 \).

Найдём корни уравнения по формуле \( z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\[ z_1 = \frac{-(1 - 2i) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 2i + 3}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i \]\[ z_2 = \frac{-(1 - 2i) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 2i - 3}{2} = \frac{-4 + 2i}{2} = -2 + i \]

Ответ: \( z_1 = 1 + i, z_2 = -2 + i \).