11. Решите уравнение 4x² - 20x + 25 = (3x + 1)².

Задание 11. Уравнение

Чтобы решить уравнение \( 4x^2 - 20x + 25 = (3x + 1)^2 \), следуем такому плану:

1. Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом: \( (2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25 \).
2. Раскроем квадрат в правой части: \( (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 \).
3. Теперь уравнение выглядит так: \[ (2x - 5)^2 = (3x + 1)^2 \]
4. Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить уравнение вида \( A^2 - B^2 = 0 \), которое раскладывается как \( (A - B)(A + B) = 0 \): \[ (2x - 5)^2 - (3x + 1)^2 = 0 \]
5. Применим формулу разности квадратов: \[ ((2x - 5) - (3x + 1))((2x - 5) + (3x + 1)) = 0 \]
6. Упростим выражения в скобках: \[ (2x - 5 - 3x - 1)(2x - 5 + 3x + 1) = 0 \] \[ (-x - 6)(5x - 4) = 0 \]
7. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
• \( -x - 6 = 0 \) => \( -x = 6 \) => \( x = -6 \)
• \( 5x - 4 = 0 \) => \( 5x = 4 \) => \( x = \frac{4}{5} \)

Ответ: \( x = -6 \) или \( x = \frac{4}{5} \).