11. Решите уравнение х³ + 3x² - 16x - 48 = 0.

Задание 11. Решение кубического уравнения

Это кубическое уравнение. Попробуем решить его методом группировки.

• Уравнение: \( x^3 + 3x^2 - 16x - 48 = 0 \)

Решение:

1. Сгруппируем слагаемые:
   Сгруппируем первые два слагаемых и последние два: \( (x^3 + 3x^2) + (-16x - 48) = 0 \)
2. Вынесем общий множитель из каждой группы:
   Из первой группы вынесем \( x^2 \), из второй — \( -16 \):
   \[ x^2(x + 3) - 16(x + 3) = 0 \]
3. Вынесем общий множитель \( (x + 3) \):
   \[ (x + 3)(x^2 - 16) = 0 \]
4. Разложим вторую скобку как разность квадратов: \( x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \)
   Получаем: \( (x + 3)(x - 4)(x + 4) = 0 \)
5. Приравняем каждый множитель к нулю:
   
   • \( x + 3 = 0 \) => \( x_1 = -3 \)
   • \( x - 4 = 0 \) => \( x_2 = 4 \)
   • \( x + 4 = 0 \) => \( x_3 = -4 \)

Ответ: Корни уравнения: -3, 4, -4.