№ 11. Решите уравнение: x-2 = 2 + √2x + 7.

Решение:

1. Выделим корень из переменной: \( \sqrt{2x + 7} = x - 2 - 2 \)
2. \( \sqrt{2x + 7} = x - 4 \)
3. Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{2x + 7})^2 = (x - 4)^2 \)
4. \( 2x + 7 = x^2 - 8x + 16 \)
5. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: \( x^2 - 8x + 16 - 2x - 7 = 0 \)
6. \( x^2 - 10x + 9 = 0 \)
7. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \).
8. Корни уравнения: \( x_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = 9 \) и \( x_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1 \).
9. Проверим полученные корни в исходном уравнении:
• Для \( x = 9 \): \( 9 - 2 = 7 \) и \( 2 + \sqrt{2 \cdot 9 + 7} = 2 + \sqrt{18 + 7} = 2 + \sqrt{25} = 2 + 5 = 7 \). \( 7 = 7 \). Этот корень подходит.
• Для \( x = 1 \): \( 1 - 2 = -1 \) и \( 2 + \sqrt{2 \cdot 1 + 7} = 2 + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 \). \( -1
  e 5 \). Этот корень не подходит.

Ответ: \( x = 9 \).