№ 12. Решите систему уравнений: \( \begin{cases} \frac{2^x}{2^y} = 16 \\ x + y = 9 \end{cases} \).

Решение:

1. Упростим первое уравнение системы: \( \frac{2^x}{2^y} = 2^{x-y} \), так как \( 16 = 2^4 \), первое уравнение принимает вид: \( 2^{x-y} = 2^4 \).
2. Приравниваем показатели степеней: \( x - y = 4 \).
3. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
• \( x - y = 4 \)
• \( x + y = 9 \)
4. Сложим оба уравнения: \( (x - y) + (x + y) = 4 + 9 \) \( \implies 2x = 13 \) \( \implies x = \frac{13}{2} = 6.5 \).
5. Подставим значение \( x \) во второе уравнение: \( 6.5 + y = 9 \) \( \implies y = 9 - 6.5 = 2.5 \).

Ответ: \( x = 6.5 \), \( y = 2.5 \).