11. В ΔABC AB = BC, BE — медиана треугольника ABC, Угол ABE=41°. Найдите углы ABC и CEB.

Решение:

Дано: ΔABC, AB = BC, BE — медиана, ∠ABE = 41°.

Найти: ∠ABC, ∠CEB.

1. Так как AB = BC, то ΔABC — равнобедренный. Медиана BE в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию AC, является также биссектрисой и высотой.
2. Следовательно, ∠ABE = ∠CBE = 41°.
3. Угол ABC = ∠ABE + ∠CBE = 41° + 41° = 82°.
4. Так как BE является высотой, то ∠BEA = ∠BEC = 90°.
5. В ΔABC: ∠BAC = ∠BCA = (180° - 82°) / 2 = 98° / 2 = 49°.
6. В ΔCEB: ∠C = 49°, ∠BEC = 90°, ∠CBE = 41°. Сумма углов 49° + 90° + 41° = 180°.

Ответ: ∠ABC = 82°, ∠CEB = 90°.