11. В окружность с центром в точке О вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки О до сторон треугольника равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Найдите сторону треугольника.

Краткая запись:

• Дано: Равносторонний \(\triangle ABC\) вписан в окружность с центром O. Расстояние от O до сторон = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
• Найти: Сторону \(a\) треугольника.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Расстояние от центра вписанной окружности до сторон треугольника – это радиус вписанной окружности (\(r\)). По условию, \(r = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
2. Шаг 2: Для равностороннего треугольника существует формула, связывающая радиус вписанной окружности и длину стороны: \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\).
3. Шаг 3: Подставим известное значение \(r\): \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}}\).
4. Шаг 4: Выразим сторону \(a\): \(a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2\sqrt{3}\).
5. Шаг 5: Вычислим значение \(a\): \(a = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\).

Ответ: 3