12. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 60 и ВС = 1. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Краткая запись:

• Дано: Точки A, C, B на одной прямой, \(AC = 60\), \(BC = 1\). Окружность с центром A, радиус \(AC\).
• Найти: Длину касательной из B к окружности.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем длину отрезка AB. Так как C лежит между A и B, то \(AB = AC + CB = 60 + 1 = 61\).
2. Шаг 2: Радиус окружности с центром A, проходящей через C, равен AC = 60.
3. Шаг 3: Пусть точка касания из B к окружности будет T. Тогда отрезок AT является радиусом окружности, то есть \(AT = 60\).
4. Шаг 4: По свойству касательной, радиус AT перпендикулярен касательной BT. Значит, \(\triangle ATB\) – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB.
5. Шаг 5: Применим теорему Пифагора для \(\triangle ATB\): \(AB^2 = AT^2 + BT^2\).
6. Шаг 6: Подставим известные значения: \(61^2 = 60^2 + BT^2\).
7. Шаг 7: Вычислим \(BT^2\): \(BT^2 = 61^2 - 60^2 = (61-60)(61+60) = 1 \times 121 = 121\).
8. Шаг 8: Найдем длину касательной BT: \(BT = \sqrt{121} = 11\).

Ответ: 11