Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1104. Доказать тождество \( \frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2} = -2tg^2 \alpha \)
Ответ:
Решение:
Рассмотрим левую часть тождества:
\( \frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2} = \frac{1 - (\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha} = \frac{1 - (1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha)}{1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{-2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha}\)
Заметим, что в условии примера ошибка, так как левая часть не равна правой. Если предположить, что в числителе должно быть \( 1-(sin a+cos a)^2 \) и в знаменателе \( sin^2 a - cos^2 a \), то:
\( \frac{1 - (\sin^2 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} = \frac{1 - (1 + \sin 2\alpha)}{-(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)} = \frac{-\sin 2\alpha}{-\cos 2\alpha} = tg 2\alpha \)
Если предположить, что в числителе \( 1-(\sin a+\cos a)^2 \) и в знаменателе \( (\sin a-\cos a)^2 \), то:
\( \frac{1 - (\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha} = \frac{1 - (1 + \sin 2\alpha)}{1 - \sin 2\alpha} = \frac{-\sin 2\alpha}{1 - \sin 2\alpha} \) что также не равно \( -2tg^2\alpha \).
Проверим условие \( -2tg^2 \alpha \). Оно может быть получено, например, из \( \frac{-2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \).
Ответ: В условии задания, вероятно, есть ошибка, так как приведённое тождество не выполняется.
Похожие
- 1103. 1) \(\frac{1}{1+ctg^2 \alpha}\) 2) \((1+tg \alpha)(1+ctg \alpha)\)
- 1105. Упростить выражение: 1) \( \sin^2 (\alpha+8\pi)+\cos^2 (\alpha+10\pi) \) 2) \( \cos^2 (\alpha+6\pi)+\cos^2 (\alpha-4\pi) \)
- 1106. \( \frac{2(1-2\cos^2 \alpha)}{\sin 2\alpha} + \frac{1}{1-2\sin^2 \alpha} \)
- 1107. Доказать тождество \( \frac{1+\sin x}{1-\sin x} = (\frac{1+\sin x}{\cos x})^2 \)
- 1108. Разложить на множители: 1) \( 1+\cos \alpha + \sin \alpha \) 2) \( 1-\cos \alpha - \sin \alpha \) 3) \( 3-4\sin^2 \alpha \) 4) \( 1-4\cos^2 \alpha \)
- 1109. Доказать, что если \( \alpha + \beta + \gamma = \pi \), то: 1) \( \sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} \) 2) \( \sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \)
- 1110. Известно, что \( tg \alpha = 2 \). Найти значение выражения: 1) \( \frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha \sin \alpha} \) 2) \( \frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} \)
- 1111. Известно, что \( tg \alpha + ctg \alpha = 3 \). Найти \( tg^2 \alpha + ctg^2 \alpha \).
- 1112. Упростить выражение: 1) \( \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} - tg (\frac{\pi}{4} + \alpha) \) 2) \( tg^2 (\frac{\pi}{2} - \alpha) - \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} \)
- 1113. Упростить выражение: 1) \( \frac{tg \alpha + tg \beta}{ctg \alpha + ctg \beta} \) 2) \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 \) 3) \( \frac{\sin (\frac{\pi}{4}+\alpha) - \cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)}{\sin (\frac{\pi}{4}+\alpha) + \cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)} \) 4) \( \frac{\sin \alpha + 2 \sin (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2 \cos (\frac{\pi}{6} - \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha} \)
- 1114. 1) \( \frac{1-tg^2 (\frac{\pi}{4}-a)}{1+tg^2 (\frac{\pi}{4}-a)} : \frac{\sin 2a}{1+\cos 2a} \) 2) \( \frac{\sin 2a}{1+\cos 2a} \)
- 1115. 1) \( \frac{tg^2 a}{1+tg^2 a} \) 2) \( \frac{1+ctg^2 a}{ctg^2 a} \) 3) \( \frac{tg \alpha - tg \beta}{ctg \alpha + ctg \beta} \) 4) \( (tg a+ ctg a)^2-(tg a-ctg a)^2 \)
