Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1113. Упростить выражение: 1) \( \frac{tg \alpha + tg \beta}{ctg \alpha + ctg \beta} \) 2) \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 \) 3) \( \frac{\sin (\frac{\pi}{4}+\alpha) - \cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)}{\sin (\frac{\pi}{4}+\alpha) + \cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)} \) 4) \( \frac{\sin \alpha + 2 \sin (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2 \cos (\frac{\pi}{6} - \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha} \)
Ответ:
Решение:
1) \( \frac{tg \alpha + tg \beta}{ctg \alpha + ctg \beta} = \frac{tg \alpha + tg \beta}{\frac{1}{tg \alpha} + \frac{1}{tg \beta}} = \frac{tg \alpha + tg \beta}{\frac{tg \beta + tg \alpha}{tg \alpha tg \beta}} = tg \alpha tg \beta \)
2) \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) = (1 + \sin 2\alpha) + (1 - \sin 2\alpha) = 2 \)
3) \( \frac{\sin (\frac{\pi}{4}+\alpha) - \cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)}{\sin (\frac{\pi}{4}+\alpha) + \cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)} = \frac{tg (\frac{\pi}{4}+\alpha) - 1}{tg (\frac{\pi}{4}+\alpha) + 1} = \frac{tg \frac{\pi}{4} + tg \alpha}{1 - tg \frac{\pi}{4} tg \alpha} - 1 \) - здесь есть ошибка, так как \( tg(A+B) = \frac{tgA+tgB}{1-tgAtgB} \). Правильный ход:
\( \frac{\sin (\frac{\pi}{4}+\alpha) - \cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)}{\sin (\frac{\pi}{4}+\alpha) + \cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)} = \frac{1}{\cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)} \cdot \frac{\sin (\frac{\pi}{4}+\alpha) - \cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)}{\frac{\sin (\frac{\pi}{4}+\alpha)}{\cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)} + 1} = \frac{tg (\frac{\pi}{4}+\alpha) - 1}{tg (\frac{\pi}{4}+\alpha) + 1} \) - это не упрощение. Правильный ход:
\( \frac{\sin (\frac{\pi}{4}+\alpha) - \cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)}{\sin (\frac{\pi}{4}+\alpha) + \cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)} = \frac{(\sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha) - (\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha)}{(\sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha) + (\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha)} = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha)}{(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha)} = \frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} \cos \alpha} = tg \alpha \)
4) \( \frac{\sin \alpha + 2 \sin (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2 \cos (\frac{\pi}{6} - \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha + 2(\sin \frac{\pi}{3} \cos \alpha - \cos \frac{\pi}{3} \sin \alpha)}{2(\cos \frac{\pi}{6} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{6} \sin \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha + 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha)}{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha - \sin \alpha}{\sqrt{3} \cos \alpha + \sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha} = \frac{\sqrt{3} \cos \alpha}{\sin \alpha} = \sqrt{3} ctg \alpha \)
Ответ: 1) \( tg \alpha tg \beta \); 2) 2; 3) \( tg \alpha \); 4) \( \sqrt{3} ctg \alpha \)
Похожие
- 1103. 1) \(\frac{1}{1+ctg^2 \alpha}\) 2) \((1+tg \alpha)(1+ctg \alpha)\)
- 1104. Доказать тождество \( \frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2} = -2tg^2 \alpha \)
- 1105. Упростить выражение: 1) \( \sin^2 (\alpha+8\pi)+\cos^2 (\alpha+10\pi) \) 2) \( \cos^2 (\alpha+6\pi)+\cos^2 (\alpha-4\pi) \)
- 1106. \( \frac{2(1-2\cos^2 \alpha)}{\sin 2\alpha} + \frac{1}{1-2\sin^2 \alpha} \)
- 1107. Доказать тождество \( \frac{1+\sin x}{1-\sin x} = (\frac{1+\sin x}{\cos x})^2 \)
- 1108. Разложить на множители: 1) \( 1+\cos \alpha + \sin \alpha \) 2) \( 1-\cos \alpha - \sin \alpha \) 3) \( 3-4\sin^2 \alpha \) 4) \( 1-4\cos^2 \alpha \)
- 1109. Доказать, что если \( \alpha + \beta + \gamma = \pi \), то: 1) \( \sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} \) 2) \( \sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \)
- 1110. Известно, что \( tg \alpha = 2 \). Найти значение выражения: 1) \( \frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha \sin \alpha} \) 2) \( \frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} \)
- 1111. Известно, что \( tg \alpha + ctg \alpha = 3 \). Найти \( tg^2 \alpha + ctg^2 \alpha \).
- 1112. Упростить выражение: 1) \( \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} - tg (\frac{\pi}{4} + \alpha) \) 2) \( tg^2 (\frac{\pi}{2} - \alpha) - \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} \)
- 1114. 1) \( \frac{1-tg^2 (\frac{\pi}{4}-a)}{1+tg^2 (\frac{\pi}{4}-a)} : \frac{\sin 2a}{1+\cos 2a} \) 2) \( \frac{\sin 2a}{1+\cos 2a} \)
- 1115. 1) \( \frac{tg^2 a}{1+tg^2 a} \) 2) \( \frac{1+ctg^2 a}{ctg^2 a} \) 3) \( \frac{tg \alpha - tg \beta}{ctg \alpha + ctg \beta} \) 4) \( (tg a+ ctg a)^2-(tg a-ctg a)^2 \)
