1110. Известно, что \( tg \alpha = 2 \). Найти значение выражения: 1) \( \frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha \sin \alpha} \) 2) \( \frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} \)

Решение:

1) Разделим числитель и знаменатель дроби на \( \cos^2 \alpha \):

\( \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 3 \frac{\cos \alpha \sin \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{tg^2 \alpha + tg \alpha}{1 + 3 tg \alpha} = \frac{2^2 + 2}{1 + 3 \cdot 2} = \frac{4+2}{1+6} = \frac{6}{7} \)

2) Заменим \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \) и \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).

\( \frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} = \frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + (1 - \sin^2 \alpha)} = \frac{2 - \sin^2 \alpha}{4 - \sin^2 \alpha} \)

Чтобы выразить \( \sin^2 \alpha \) через \( tg \alpha \), используем формулу \( \sin^2 \alpha = \frac{tg^2 \alpha}{1+tg^2 \alpha} = \frac{2^2}{1+2^2} = \frac{4}{5} \).

\( \frac{2 - \frac{4}{5}}{4 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{10-4}{5}}{\frac{20-4}{5}} = \frac{6/5}{16/5} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \)

Ответ: 1) \( \frac{6}{7} \); 2) \( \frac{3}{8} \)