1109. Доказать, что если \( \alpha + \beta + \gamma = \pi \), то: 1) \( \sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} \) 2) \( \sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \)

Решение:

1) \( \sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} \). Так как \( \alpha+\beta = \pi - \gamma \), то \( \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2} \). Следовательно, \( \sin \frac{\alpha+\beta}{2} = \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}) = \cos \frac{\gamma}{2} \).

\( 2 \cos \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} = 2 \cos \frac{\gamma}{2} (\cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \sin \frac{\gamma}{2}) \). Так как \( \frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2} \), то \( \sin \frac{\gamma}{2} = \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}) = \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \).

\( 2 \cos \frac{\gamma}{2} (\cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \cos \frac{\alpha+\beta}{2}) = 2 \cos \frac{\gamma}{2} (-2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin (-\frac{\beta}{2})) = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} \).

2) \( \sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 2 \sin (\alpha+\beta) \cos (\alpha-\beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma \). Так как \( \alpha+\beta = \pi - \gamma \), то \( \sin (\alpha+\beta) = \sin (\pi - \gamma) = \sin \gamma \).

\( 2 \sin \gamma \cos (\alpha-\beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma = 2 \sin \gamma (\cos (\alpha-\beta) + \cos \gamma) \). Так как \( \gamma = \pi - (\alpha+\beta) \), то \( \cos \gamma = \cos (\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos (\alpha+\beta) \).

\( 2 \sin \gamma (\cos (\alpha-\beta) - \cos (\alpha+\beta)) = 2 \sin \gamma (2 \sin \alpha \sin \beta) = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \).

Ответ: Тождества доказаны.