111. Найдите производную функции: 7) y = arcsin((1 − x²)/(1 + x²));

Обозначим \(u=(1-x^2)/(1+x^2)\). Тогда \(u'=-4x/(1+x^2)^2\), а для \(x\ne0\):

\[\sqrt{1-u^2}=\frac{2|x|}{1+x^2}.\]

По правилу цепочки получаем \(y'=u'/\sqrt{1-u^2}=-2\,\operatorname{sgn}(x)/(1+x^2)\). При \(x=0\) производная не существует: односторонние производные различны.

Ответ: \(y'=-\frac{2\,\operatorname{sgn}(x)}{1+x^2}\) при \(x\ne0\); в точке \(x=0\) производной нет.