111. Найдите производную функции: 8) y = 2 arctg((ln x)/x);

Область определения: \(x>0\). Пусть \(u=\ln x/x\); по правилу частного \(u'=(1-\ln x)/x^2\). Тогда

\[y'=2\cdot\frac{u'}{1+u^2}=2\cdot\frac{(1-\ln x)/x^2}{1+(\ln x)^2/x^2}=\frac{2(1-\ln x)}{x^2+(\ln x)^2}.\]

Ответ: \(y'=\frac{2(1-\ln x)}{x^2+(\ln x)^2}\), \(x>0\).