111. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что ΔBPC = ΔB₁P₁C₁.

Сначала треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. Поэтому BC = B₁C₁.

Так как P и P₁ лежат на сторонах AB и A₁B₁, соответственно, а AB = A₁B₁ и AP = A₁P₁, то BP = B₁P₁.

Рассмотрим треугольники APC и A₁P₁C₁. Имеем AP = A₁P₁, AC = A₁C₁ и ∠PAC = ∠P₁A₁C₁, поскольку эти углы равны углам A и A₁. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда PC = P₁C₁.

Теперь BP = B₁P₁, PC = P₁C₁ и BC = B₁C₁. Следовательно, ΔBPC = ΔB₁P₁C₁ по трём сторонам.