1110. Известно, что \(\operatorname{tg} \alpha = 2\). Найти значение выражения: 1) \(\frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha \sin \alpha}\); 2) \(\frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha}\)

Решение:

Разделим числитель и знаменатель на \(\cos^2 \alpha\) (так как \(\cos \alpha \neq 0\) при \(\operatorname{tg} \alpha = 2\)).

1) \(\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{tg} \alpha}{1 + 3 \operatorname{tg} \alpha} = \frac{2^2 + 2}{1 + 3 \cdot 2} = \frac{4 + 2}{1 + 6} = \frac{6}{7}\)

2) \(\frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} = \frac{2 - (1 - \cos^2 \alpha)}{3 + \cos^2 \alpha} = \frac{1 + \cos^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha}\). Чтобы избавиться от \(\cos^2 \alpha\), найдем \(\sin^2 \alpha\) и \(\cos^2 \alpha\) из \(\operatorname{tg} \alpha = 2\). \(\operatorname{tg}^2 \alpha = 4 \implies \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 4 \implies \sin^2 \alpha = 4 \cos^2 \alpha\). Так как \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), то \(4 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies 5 \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = \frac{1}{5}\). Тогда \(\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\). Подставляем во второе выражение: \(\frac{2 - \frac{4}{5}}{3 + \frac{1}{5}} = \frac{\frac{10 - 4}{5}}{\frac{15 + 1}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{16}{5}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\)

Ответ: 1) \(\frac{6}{7}\); 2) \(\frac{3}{8}\).