Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1115. 1) \(\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}\); 2) \(\frac{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha}\); 3) \(\frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{ctg} \beta}\); 4) \((\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)^2 - (\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} \alpha)^2\)
Ответ:
Решение:
1) \(\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{\sec^2 \alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha \cos^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\)
2) \(\frac{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha} = \frac{\csc^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \sec^2 \alpha\)
3) \(\frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{ctg} \beta} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos \beta}{\sin \beta}} = \frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}} = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \cdot \frac{\sin \alpha \sin \beta}{-\sin(\alpha - \beta)} = -\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = -\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\)
4) \((\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)^2 - (\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} \alpha)^2 = (\operatorname{tg}^2 \alpha + 2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha) - (\operatorname{tg}^2 \alpha - 2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha) = \operatorname{tg}^2 \alpha + 2 + \operatorname{ctg}^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha + 2 - \operatorname{ctg}^2 \alpha = 4\)
Ответ: 1) \(\sin^2 \alpha\); 2) \(\sec^2 \alpha\); 3) \(-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\); 4) 4.
Похожие
- 1103. 1) \(\frac{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}\) ; 2) \((1 + \operatorname{tg} \alpha)(1 + \operatorname{ctg} \alpha) - \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}\)
- 1104. Доказать тождество \(\frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha} = -2\operatorname{tg}^2 \alpha\)
- Упростить выражение (1105-1106). 1105. 1) \(\sin^2 (\alpha + 8\pi) + \cos^2 (\alpha + 10\pi)\); 2) \(\cos^2 (\alpha + 6\pi) + \cos^2 (\alpha - 4\pi)\)
- 1106. \(\frac{\sin 2\alpha}{2(1 - 2 \cos^2 \alpha)} + \frac{\sin \alpha \cos (\pi - \alpha)}{1 - 2 \sin^2 \alpha}\)
- 1107. Доказать тождество \(\frac{\sin^2 x}{1 - \cos x} - \frac{\sin x \cos x}{\operatorname{tg} x} = - \sin x - \cos x\)
- \(\sqrt{1109}.\ Доказать, что если \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то 1) \(\sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}\); 2) \(\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\)
- 1110. Известно, что \(\operatorname{tg} \alpha = 2\). Найти значение выражения: 1) \(\frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha \sin \alpha}\); 2) \(\frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha}\)
- 1111. Известно, что \(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = 3\). Найти \(\operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha\)
- Упростить выражение (1112-1117). 1112. 1) \(\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} - \operatorname{tg} (\frac{\pi}{4} + \alpha)\); 2) \(\operatorname{tg}^2 (\frac{\pi}{2} - \alpha) - \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}\)
- 1113. 1) \(\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}\); 2) \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2\); 3) \(\frac{\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos (\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos (\frac{\pi}{4} + \alpha)}\); 4) \(\frac{\sin \alpha + 2 \sin (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2 \cos (\frac{\pi}{6} - \alpha)} - \sqrt{3} \cos \alpha\)
- 1114. 1) \(\frac{1 - \operatorname{tg}^2 (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{1 + \operatorname{tg}^2 (\frac{\pi}{4} - \alpha)} : \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}\)
