1113. 1) \(\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}\); 2) \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2\); 3) \(\frac{\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos (\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos (\frac{\pi}{4} + \alpha)}\); 4) \(\frac{\sin \alpha + 2 \sin (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2 \cos (\frac{\pi}{6} - \alpha)} - \sqrt{3} \cos \alpha\)

Решение:

1) \(\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg} \beta} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}} = \frac{\frac{\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \sin \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta}} = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \sin \beta} \cdot \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \sin \beta} = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \beta\)

2) \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) = (1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha) + (1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha) = 2\)

3) \(\frac{\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos (\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos (\frac{\pi}{4} + \alpha)} = \frac{\operatorname{tg} (\frac{\pi}{4} + \alpha) - 1}{\operatorname{tg} (\frac{\pi}{4} + \alpha) + 1}\). Используя формулу \(\operatorname{tg} (A+B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 - \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B}\), где \(A = \frac{\pi}{4}\) и \(B = \alpha\), получим \(\operatorname{tg} (\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha}\). Тогда \(\frac{\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha} - 1}{\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha} + 1} = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha - (1 - \operatorname{tg} \alpha)}{1 + \operatorname{tg} \alpha + (1 - \operatorname{tg} \alpha)} = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{2} = \operatorname{tg} \alpha\). Однако, если преобразовать через \(\sin\) и \(\cos\): \(\frac{\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos (\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos (\frac{\pi}{4} + \alpha)} = \frac{(\sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha) - (\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha)}{(\sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha) + (\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha)} = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha)}{(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha)} = \frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha} = \frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} \cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha\)

4) \(\frac{\sin \alpha + 2 \sin (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2 \cos (\frac{\pi}{6} - \alpha)} - \sqrt{3} \cos \alpha = \frac{\sin \alpha + 2 (\sin \frac{\pi}{3} \cos \alpha - \cos \frac{\pi}{3} \sin \alpha)}{2 \cos (\frac{\pi}{6} - \alpha)} - \sqrt{3} \cos \alpha = \frac{\sin \alpha + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha)}{2 \cos (\frac{\pi}{6} - \alpha)} - \sqrt{3} \cos \alpha = \frac{\sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha - \sin \alpha}{2 \cos (\frac{\pi}{6} - \alpha)} - \sqrt{3} \cos \alpha = \frac{\sqrt{3} \cos \alpha}{2 \cos (\frac{\pi}{6} - \alpha)} - \sqrt{3} \cos \alpha\). \(\cos (\frac{\pi}{6} - \alpha) = \cos \frac{\pi}{6} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{6} \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha\). \(\frac{\sqrt{3} \cos \alpha}{2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha)} - \sqrt{3} \cos \alpha = \frac{\sqrt{3} \cos \alpha}{\sqrt{3} \cos \alpha + \sin \alpha} - \sqrt{3} \cos \alpha\). Замечание: В данном пункте, вероятно, опечатка, и выражение не упрощается до более простого вида без дополнительных условий.

Ответ: 1) \(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \beta\); 2) 2; 3) \(\operatorname{tg} \alpha\). 4) Не упрощается до более простого вида без дополнительных условий.