\(\sqrt{1109}.\ Доказать, что если \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то 1) \(\sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}\); 2) \(\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\)

Решение:

1) \(\sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} - 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2}\). Так как \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то \(\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi - \gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\), следовательно \(\sin \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{\gamma}{2}\). Подставляем: \(2 \cos \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} - 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} = 2 \cos \frac{\gamma}{2} (\cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \sin \frac{\gamma}{2})\). Так как \(\sin \frac{\gamma}{2} = \cos \frac{\alpha + \beta}{2}\), то \(2 \cos \frac{\gamma}{2} (\cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \cos \frac{\alpha + \beta}{2}) = 2 \cos \frac{\gamma}{2} (2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}) = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}\).

2) \(\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma\). Так как \(\alpha + \beta = \pi - \gamma\), то \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\pi - \gamma) = \sin \gamma\). \(2 \sin \gamma \cos(\alpha - \beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma = 2 \sin \gamma (\cos(\alpha - \beta) + \cos \gamma)\). Так как \(\cos \gamma = \cos(\pi - (\alpha + \beta)) = -\cos(\alpha + \beta)\), то \(2 \sin \gamma (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) = 2 \sin \gamma (2 \sin \alpha \sin \beta) = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\).

Ответ: Тождества доказаны.