113. Упростите выражение: 1) (m+n)/(m−n) − (m²+n²)/(m²−n²); 2) (x−y)/(x+y) + y²/(2xy+x²+y²); 3) 2a/(4a²−1) − (a+4)/(2a²+a); 4) (b−2)/(b²+6b+9) − b/(b²−9); 5) (x−6)/(x²+3x) + x/(x+3) − (x−3)/x; 6) (y+2)/(y−2) − (y−2)/(y+2) − 16/(y²−4).

Разложим знаменатели на множители и приведём дроби к общему знаменателю.

1. Так как m²−n²=(m−n)(m+n), получаем:
   \(\dfrac{(m+n)^2-(m^2+n^2)}{(m-n)(m+n)}=\dfrac{2mn}{(m-n)(m+n)}\).

2. \(2xy+x^2+y^2=(x+y)^2\), поэтому
   \(\dfrac{(x-y)(x+y)+y^2}{(x+y)^2}=\dfrac{x^2}{(x+y)^2}\).

3. Разложим знаменатели: \(4a^2-1=(2a-1)(2a+1)\), \(2a^2+a=a(2a+1)\). Тогда
   \(\dfrac{2a^2(2a+1)-(a+4)(2a-1)}{a(2a-1)(2a+1)}=\dfrac{4a^3-7a+4}{a(2a-1)(2a+1)}\).

4. \(b^2+6b+9=(b+3)^2\), \(b^2-9=(b-3)(b+3)\). Тогда
   \(\dfrac{(b-2)(b-3)-b(b+3)}{(b+3)^2(b-3)}=\dfrac{6-8b}{(b+3)^2(b-3)}\).

5. \(x^2+3x=x(x+3)\). Приведём к общему знаменателю:
   \(\dfrac{x-6+x^2-(x-3)(x+3)}{x(x+3)}=\dfrac{x+3}{x(x+3)}=\dfrac1x\).

6. Общий знаменатель — \((y-2)(y+2)\):
   \(\dfrac{(y+2)^2-(y-2)^2-16}{(y-2)(y+2)}=\dfrac{8(y-2)}{(y-2)(y+2)}=\dfrac8{y+2}\).

Ответ: 1) \(\dfrac{2mn}{(m-n)(m+n)}\); 2) \(\dfrac{x^2}{(x+y)^2}\); 3) \(\dfrac{4a^3-7a+4}{a(2a-1)(2a+1)}\); 4) \(\dfrac{6-8b}{(b+3)^2(b-3)}\); 5) \(\dfrac1x\); 6) \(\dfrac8{y+2}\).

Учитываются ограничения: знаменатели исходных выражений не должны быть равны нулю.