114. При каких значениях х выполняется неравенство:

Задание 114. Решение неравенств

1) \( \sqrt{x} \geq 4 \)

1. Для извлечения корня, обе части неравенства должны быть неотрицательными. Так как \( \sqrt{x} \) по определению неотрицательно, и \( 4 \) также положительно, мы можем возвести обе части в квадрат.
2. Возводим обе части в квадрат: \( (\sqrt{x})^2 \geq 4^2 \)
3. Получаем: \( x \geq 16 \)
4. Также, по определению квадратного корня, подкоренное выражение \( x \) должно быть неотрицательным: \( x \geq 0 \).
5. Объединяя условия \( x \geq 16 \) и \( x \geq 0 \), получаем \( x \geq 16 \).

Ответ: \( x \geq 16 \).

2) \( \sqrt{x} < 3 \)

1. Условие для существования корня: \( x \geq 0 \).
2. Так как \( \sqrt{x} \) неотрицательно и \( 3 \) положительно, мы можем возвести обе части в квадрат.
3. Возводим обе части в квадрат: \( (\sqrt{x})^2 < 3^2 \)
4. Получаем: \( x < 9 \).
5. Объединяя условия \( x \geq 0 \) и \( x < 9 \), получаем \( 0 \leq x < 9 \).

Ответ: \( 0 \leq x < 9 \).

3) \( 7 < \sqrt{x} \leq 10 \)

1. Все части неравенства положительны, поэтому можем возвести их в квадрат.
2. Возводим все части в квадрат: \( 7^2 < (\sqrt{x})^2 \leq 10^2 \)
3. Получаем: \( 49 < x \leq 100 \)

Ответ: \( 49 < x \leq 100 \).