114. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите стороны AB и BC, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника ABM равен 24 см.

Обозначим AB = AC = x, а BC = y. Тогда 2x + y = 32. Поскольку AM — медиана, BM = y/2, поэтому периметр треугольника ABM даёт x + y/2 + AM = 24.

Из 2x + y = 32 получаем x + y/2 = 16, следовательно, AM = 24 − 16 = 8 см.

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный. Пусть BM = t; тогда AB = √(t² + 8²). Также из периметра ABC следует AB + BM = 16. Значит, √(t² + 64) + t = 16, откуда √(t² + 64) = 16 − t. Возводим в квадрат: t² + 64 = 256 − 32t + t², поэтому t = 6. Тогда AB = 16 − 6 = 10 см, а BC = 2BM = 12 см.

Ответ: AB = 10 см, BC = 12 см.