1152. Найдите биссектрису AD треугольника ABC, если ∠A = 90°, AB = c, AC = b.

По теореме о биссектрисе \(BD:DC=AB:AC=c:b\). Длина биссектрисы из вершины A выражается формулой \(AD^2=AB\cdot AC\left(1-\frac{BC^2}{(AB+AC)^2}\right)\).

Так как угол A прямой, \(BC^2=b^2+c^2\). Подставляем:

\(AD^2=bc\left(1-\frac{b^2+c^2}{(b+c)^2}\right)=bc\cdot\frac{2bc}{(b+c)^2}\).

Ответ: \(AD=\frac{\sqrt2\,bc}{b+c}\).