1154. Докажите, что треугольник с вершинами A(3; 0), B(1; 5) и C(2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.

Найдём квадраты длин сторон по формуле расстояния между точками:

\(AB^2=(3-1)^2+(0-5)^2=29\), \(AC^2=(3-2)^2+(0-1)^2=2\), \(BC^2=(1-2)^2+(5-1)^2=17\).

Наибольшая сторона — AB. Поскольку \(AB^2=29>AC^2+BC^2=19\), угол, лежащий напротив AB, тупой; это угол C.

По теореме косинусов:

\(\cos C=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2\cdot AC\cdot BC)=(2+17-29)/(2\sqrt2\sqrt{17})=-5/\sqrt{34}\).

Ответ: треугольник тупоугольный, \(\cos C=-\frac5{\sqrt{34}}\).