118. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары чисел вида 6n − 1 и 6n + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6n − 1 и 6n + 1, которые не являются числами-близнецами.

а) Числа-близнецы — простые числа, разность которых равна 2. Среди первых 500 натуральных чисел таких пар 35.

б) Подставим заданные значения n:

• n = 87: 6 · 87 − 1 = 521, 6 · 87 + 1 = 523; пара (521, 523).
• n = 135: 6 · 135 − 1 = 809, 6 · 135 + 1 = 811; пара (809, 811).
• n = 165: 6 · 165 − 1 = 989, 6 · 165 + 1 = 991; пара (989, 991).

Первые две пары — числа-близнецы. В третьей паре 989 = 23 · 43, поэтому она не является парой простых чисел-близнецов.

в) Для двузначных чисел подходят n от 2 до 16. Проверка пар даёт пары, в которых хотя бы одно число составное: (23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (89, 91), (95, 97). Например, в паре (35, 37) число 35 составное, поэтому эта пара не является парой чисел-близнецов.

Ответ: а) 35 пар; б) (521, 523), (809, 811), (989, 991); в) (23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (89, 91), (95, 97).