118. Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна a, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.

Обозначим вершины так, чтобы сторона \(AB=a\), \(\angle A=\alpha\), \(\angle B=\beta\), а \(\angle C=\gamma=180°-\alpha-\beta\). По теореме синусов стороны, прилежащие к третьему углу, равны \(BC=\dfrac{a\sin\alpha}{\sin\gamma}\) и \(AC=\dfrac{a\sin\beta}{\sin\gamma}\).

Длина биссектрисы угла треугольника с прилежащими сторонами \(m,n\) и углом \(\theta\) равна \(\dfrac{2mn\cos(\theta/2)}{m+n}\). Применяя эту формулу, получаем:

• биссектриса угла \(A\): \(l_A=\dfrac{2a\cdot AC\cdot\cos(\alpha/2)}{a+AC}=\dfrac{2a\sin\beta\cos(\alpha/2)}{\sin\gamma+\sin\beta}\);
• биссектриса угла \(B\): \(l_B=\dfrac{2a\cdot BC\cdot\cos(\beta/2)}{a+BC}=\dfrac{2a\sin\alpha\cos(\beta/2)}{\sin\gamma+\sin\alpha}\);
• биссектриса угла \(C\): \(l_C=\dfrac{2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos(\gamma/2)}{AC+BC}=\dfrac{2a\sin\alpha\sin\beta\cos(\gamma/2)}{\sin\gamma(\sin\alpha+\sin\beta)}\).