1182 Около правильного треугольника описана окружность радиусом R. Докажите, что R=2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Дано:

• Правильный треугольник.
• Радиус описанной окружности R.
• Радиус вписанной окружности r.

Доказать:

• $$R = 2r$$

Доказательство:

1. Свойства правильного треугольника:

   В правильном треугольнике центр описанной окружности (O) и центр вписанной окружности (O) совпадают. Центр правильного треугольника является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

2. Связь медианы и радиусов:

   Медиана правильного треугольника является также его высотой и биссектрисой. Центр треугольника делит медиану (и высоту) в отношении 2:1, считая от вершины.

   Пусть $$h$$ — высота (и медиана) треугольника. Тогда:

   • Радиус описанной окружности $$R$$ равен 2/3 высоты: $$R = \frac{2}{3}h$$
   • Радиус вписанной окружности $$r$$ равен 1/3 высоты: $$r = \frac{1}{3}h$$
3. Вывод:

   Сравним $$R$$ и $$r$$:

   $$ R = \frac{2}{3}h = 2 \cdot \left( \frac{1}{3}h \right) = 2r $$

   Таким образом, доказано, что $$R = 2r$$.

Что и требовалось доказать.