Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Дано:
- Основание головки болта - правильный шестиугольник.
- Расстояние между параллельными гранями (двойная высота) = 1,5 см.
Найти:
- Площадь основания (правильного шестиугольника) S.
Решение:
- Определение расстояния между гранями:
В правильном шестиугольнике расстояние между двумя параллельными гранями равно удвоенной высоте (апофеме) этого шестиугольника. Апофема - это перпендикуляр, опущенный из центра шестиугольника на его сторону. Эта величина также является радиусом вписанной окружности (r).
- Находим радиус вписанной окружности (r):
Если расстояние между параллельными гранями равно 1,5 см, то радиус вписанной окружности (апофема) равен:
$$ r = \frac{1.5 \text{ см}}{2} = 0.75 \text{ см} $$ - Находим сторону шестиугольника (a):
Для правильного шестиугольника связь между радиусом вписанной окружности (r) и стороной (a) выглядит так:
$$ r = \frac{a\sqrt{3}}{2} $$Отсюда выразим сторону:
$$ a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 0.75 \text{ см}}{\sqrt{3}} = \frac{1.5}{\sqrt{3}} \text{ см} = \frac{1.5\sqrt{3}}{3} \text{ см} = 0.5\sqrt{3} \text{ см} $$ - Находим площадь шестиугольника (S):
Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:
$$ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 $$Подставляем значение стороны:
$$ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (0.5\sqrt{3} \text{ см})^2 $$$$ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (0.25 \cdot 3) \text{ см}^2 $$$$ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 0.75 \text{ см}^2 $$$$ S = \frac{2.25\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 = 1.125\sqrt{3} \text{ см}^2 $$Альтернативный способ расчета площади через радиус вписанной окружности:
$$ S = n r^2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) $$$$ S = 6 \cdot (0.75 \text{ см})^2 \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) $$$$ S = 6 \cdot 0.5625 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} $$$$ S = 3.375 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 1.125\sqrt{3} \text{ см}^2 $$
Ответ: Площадь основания равна $$1.125\sqrt{3}$$ см2.
