12(10). Движущийся равномерно автомобиль сделал разворот, описав половину окружности. Сделать чертеж, на котором указать путь и перемещение автомобиля за все время разворота и за треть этого времени. Во сколько раз пути, пройденные за указанные промежутки времени, больше модулей векторов соответствующих перемещений?

Пусть радиус окружности равен \(R\).

За всё время разворота автомобиль проходит половину окружности:

\(s_1=\pi R\).

Перемещение за это время является диаметром:

\(|\Delta r_1|=2R\).

За треть времени автомобиль проходит дугу, соответствующую углу \(\pi/3\):

\(s_2=\frac{\pi R}{3}\).

Модуль перемещения равен хорде этой дуги:

\(|\Delta r_2|=2R\sin\frac{\pi}{6}=R\).

Следовательно, отношения пути к модулю перемещения:

\(\frac{s_1}{|\Delta r_1|}=\frac{\pi R}{2R}=\frac{\pi}{2}\),

\(\frac{s_2}{|\Delta r_2|}=\frac{\pi R/3}{R}=\frac{\pi}{3}\).

Схема: на полуокружности отметьте начальную и конечную точки; за всё время перемещение — диаметр между ними, за треть времени — хорда, соединяющая начальную точку с точкой, расположенной через треть дуги.

Ответ: за всё время путь в \(\pi/2\) раза больше модуля перемещения; за треть времени — в \(\pi/3\) раза.