12.11. Решите неравенства: а) $\dfrac{|x-1|+10}{4|x-1|+3}>2$; б) $\dfrac{|x-2|+8}{3|x-2|+1}<3$; в) $\dfrac{|x-3|+6}{2|x-3|+1}<4$; г) $\dfrac{|x-2|+7}{3|x-2|+2}>1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 12.11. Решите неравенства: а) $\dfrac{|x-1|+10}{4|x-1|+3}>2$; б) $\dfrac{|x-2|+8}{3|x-2|+1}<3$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Во всех неравенствах знаменатели положительны. Обозначим модуль через неотрицательную переменную и решим линейное неравенство.

а) Пусть $t=|x-1|\ge0$. Тогда $t+10>2(4t+3)$, откуда $t<\dfrac47$. Значит, $|x-1|<\dfrac47$, поэтому $x\in\left(\dfrac37,\dfrac{11}7\right)$.
б) Пусть $t=|x-2|\ge0$. Тогда $t+8<3(3t+1)$, откуда $t>\dfrac58$. Следовательно, $x\in\left(-\infty,\dfrac{11}8\right)\cup\left(\dfrac{21}8,+\infty\right)$.
в) Пусть $t=|x-3|\ge0$. Тогда $t+6<4(2t+1)$, откуда $t>\dfrac27$. Следовательно, $x\in\left(-\infty,\dfrac{19}7\right)\cup\left(\dfrac{23}7,+\infty\right)$.
г) Пусть $t=|x-2|\ge0$. Тогда $t+7>3t+2$, откуда $t<\dfrac52$. Следовательно, $x\in\left(-\dfrac12,\dfrac92\right)$.

12.11. Решите неравенства: а) \(\dfrac{|x-1|+10}{4|x-1|+3}>2\); б) \(\dfrac{|x-2|+8}{3|x-2|+1}<3\); в) \(\dfrac{|x-3|+6}{2|x-3|+1}<4\); г) \(\dfrac{|x-2|+7}{3|x-2|+2}>1\).