12.12. Решите неравенства: а) $|x+1|+|x+3|<8$; б) $|x+2|+|x+4|<6$; в) $|x+3|+|x-2|>5$; г) $|x+7|+|x+1|>9$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 12.12. Решите неравенства: а) $|x+1|+|x+3|<8$; б) $|x+2|+|x+4|<6$; в) $|x+3|+|x-2|>5$; г) $|x+7|+|x+1|>9$.$ Фото задания

Accepted Answer

Используем расположение точек, в которых меняются знаки выражений под модулями.

а) Между $-3$ и $-1$ сумма модулей равна $2$. При $x<-3$ неравенство даёт $-2x-4<8$, то есть $x>-6$; при $x>-1$ получаем $2x+4<8$, то есть $x<2$. Значит, $x\in(-6,2)$.
б) Между $-4$ и $-2$ сумма равна $2$. Снаружи этого промежутка неравенство даёт соответственно $x>-6$ и $x<0$. Значит, $x\in(-6,0)$.
в) Между $-3$ и $2$ сумма равна $5$, а снаружи больше $5$. Поэтому $x\in(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)$.
г) Между $-7$ и $-1$ сумма равна $6$, поэтому там неравенство не выполняется. При $x<-7$: $-2x-8>9$, откуда $x<-\dfrac{17}2$. При $x>-1$: $2x+8>9$, откуда $x>\dfrac12$. Ответ: $x\in\left(-\infty,-\dfrac{17}2\right)\cup\left(\dfrac12,+\infty\right)$.

12.12. Решите неравенства: а) \(|x+1|+|x+3|<8\); б) \(|x+2|+|x+4|<6\); в) \(|x+3|+|x-2|>5\); г) \(|x+7|+|x+1|>9\).