12.14. Решите неравенства: а) $\dfrac{|x-1|}{x-1}+\dfrac{|x-2|}{x-2}\ge0$; б) $\dfrac{|x-5|}{x-5}+\dfrac{|x-6|}{x-6}\ge2$; в) $\dfrac{|x-5|-|x-3|}{|x-2|+x-2}\ge0$; г) $\dfrac{|x-7|-|x-3|}{x-8-|x-8|}\ge0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 12.14. Решите неравенства: а) $\dfrac{|x-1|}{x-1}+\dfrac{|x-2|}{x-2}\ge0$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Сначала учитываем область определения: знаменатели не должны обращаться в нуль.

а) Область определения: $x\ne1,2$. При $x<1$ сумма равна $-2$, при $12$ — $2$. Ответ: $x\in(1,2)\cup(2,+\infty)$.
б) Область определения: $x\ne5,6$. Сумма двух дробей принимает значение $2$ только при $x>6$; на остальных допустимых промежутках она меньше $2$. Ответ: $x\in(6,+\infty)$.
в) Знаменатель $|x-2|+x-2$ равен нулю при $x\le2$, а при $x>2$ положителен. На области определения числитель $|x-5|-|x-3|$ неотрицателен при $2\(x\in(2,4]$.
г) Знаменатель $x-8-|x-8|$ равен нулю при $x\ge8$, а при $x<8$ отрицателен. Поэтому дробь неотрицательна, когда числитель $|x-7|-|x-3|\le0$, то есть при $x\ge5$. С учётом области определения: $x\in[5,8)$.

12.14. Решите неравенства: а) \(\dfrac{|x-1|}{x-1}+\dfrac{|x-2|}{x-2}\ge0\); б) \(\dfrac{|x-5|}{x-5}+\dfrac{|x-6|}{x-6}\ge2\); в) \(\dfrac{|x-5|-|x-3|}{|x-2|+x-2}\ge0\); г) \(\dfrac{|x-7|-|x-3|}{x-8-|x-8|}\ge0\).