12.13*. Решите неравенства: а) $|x^2-9|+|x+4|\ge7$; б) $|x^2-16|+|x-5|\ge9$; в) $|x^2-4|+|x-3|\le5$; г) $|x^2-1|+|x-2|\le3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 12.13*. Решите неравенства: а) $|x^2-9|+|x+4|\ge7$; б) $|x^2-16|+|x-5|\ge9$; в) $|x^2-4|+|x-3|\le5$; г)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разбиваем числовую прямую по нулям выражений под модулями и раскрываем модули на каждом промежутке.

а) Критические точки: $-4,-3,3$. При $x\le-4$ неравенство выполняется; на $[-4,-3]$ оно выполняется только при $x=-4$. На $[-3,3]$ получаем $x^2-x-6\le0$, то есть $x\in[-2,3]$; при $x\ge3$ неравенство выполняется. Ответ: $x\in(-\infty,-4]\cup[-2,+\infty)$.
б) Критические точки: $-4,4,5$. На промежутке $[-4,4]$ условие равносильно $x^2+x-12\le0$, что даёт $[-4,3]$; при $x\le-4$ и $x\ge5$ неравенство также выполняется. Ответ: $x\in(-\infty,3]\cup[5,+\infty)$.
в) Критические точки: $-2,2,3$. На $[-2,2]$ получаем $x^2+x-2\ge0$, откуда $x=-2$ или $x\in[1,2]$. На $[2,3]$ неравенство выполняется, а при $x\le-2$ и $x\ge3$ подходят только граничные точки $-2$ и $3$. Ответ: $x\in\{-2\}\cup[1,3]$.
г) Критические точки: $-1,1,2$. При $x\le-1$ условие выполняется; на $[-1,1]$ оно равносильно $x^2+x\ge0$, что даёт $[-1,0]$. На $[1,2]$ неравенство выполняется, а при $x\ge2$ подходит только $x=2$. Ответ: $x\in(-\infty,0]\cup[1,2]$.

12.13*. Решите неравенства: а) \(|x^2-9|+|x+4|\ge7\); б) \(|x^2-16|+|x-5|\ge9\); в) \(|x^2-4|+|x-3|\le5\); г) \(|x^2-1|+|x-2|\le3\).