12.15*. Решите неравенства: а) $2|x|(x^2-4x+3)+x|x^2-4x+3|>0$; б) $2|x-1|(x^2-4x+3)+(x-1)|x^2-4x+3|\le0$; в) $2|x|(x^2-5x+6)+x|x^2-5x+6|\le0$; г) $2|x-1|(x^2-5x+6)+(x-1)|x^2-5x+6|\le0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 12.15*. Решите неравенства: а) $2|x|(x^2-4x+3)+x|x^2-4x+3|>0$; б) $2|x-1|(x^2-4x+3)+(x-1)|x^2-4x+3|\le0$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

На промежутках, заданных нулями квадратных выражений и выражений под модулями, раскрываем модули.

а) Обозначим $A=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$. При $x<0$ выражение положительно; при $x>0$ оно имеет знак $A$. Условие строгое, поэтому нули $0,1,3$ не входят. Ответ: $x\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(3,+\infty)$.
б) Пусть $y=x-1$. Тогда $x^2-4x+3=y(y-2)$. При $y<0$ исходное выражение положительно; при $02$ положительно. На границах $y=0,2$ выражение равно нулю. Следовательно, $x\in[1,3]$.
в) Обозначим $B=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. При $x<0$ выражение положительно; при $x>0$ оно имеет знак $B$. Учитывая нестрогое неравенство и нули выражения, получаем $x\in\{0\}\cup[2,3]$.
г) Обозначим $B=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. При $x<1$ выражение положительно. При $x>1$ его знак совпадает со знаком $B$: оно отрицательно на $(2,3)$ и равно нулю при $x=2,3$. Также при $x=1$ выражение равно нулю. Ответ: $x\in\{1\}\cup[2,3]$.

12.15*. Решите неравенства: а) \(2|x|(x^2-4x+3)+x|x^2-4x+3|>0\); б) \(2|x-1|(x^2-4x+3)+(x-1)|x^2-4x+3|\le0\); в) \(2|x|(x^2-5x+6)+x|x^2-5x+6|\le0\); г) \(2|x-1|(x^2-5x+6)+(x-1)|x^2-5x+6|\le0\).