12. (18 баллов) Определите графически число корней уравнения 4ˣ = 6 − x².

Рассмотрим графики y = 4^x и y = 6 − x². Число корней уравнения равно числу их точек пересечения. При x = 0 значения равны 1 и 6, так что график экспоненты находится ниже параболы. При x = −3 получаем 4⁻³ = 1/64 < 6 − 9 = −3 — нет, это сравнение неверно для пересечения; лучше использовать поведение разности.

Пусть g(x) = 4^x + x² − 6. При x = −3 имеем g(−3) = 1/64 + 9 − 6 > 0, а g(0) = −5 < 0, поэтому слева есть пересечение. При x = 1 имеем g(1) = −1 < 0, а g(2) = 14 > 0, поэтому справа тоже есть пересечение. Кроме того, g''(x) = (ln 4)²4^x + 2 > 0, значит, g строго выпукла и может пересечь ось не более двух раз. Следовательно, корней ровно два.

Ответ: 2 корня.