12.3. Найдите точку максимума функции y = x³ + 14x² + 49x + 8.

Находим производную: \(y' = 3x^2 + 28x + 49\).

Решаем уравнение \(y'=0\): \(3x^2+28x+49=0\), откуда \(x=-7\) и \(x=-\frac{7}{3}\).

Поскольку производная — квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом, она меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через меньший корень \(-7\). Значит, в этой точке функция имеет максимум.

Ответ: точка максимума — \(x=-7\) (на графике это точка \((-7; 8)\)).