12.7. Найдите точку максимума функции y = x³ + 16x² + 64x + 12.

Находим производную: \(y'=3x^2+32x+64\).

Решаем уравнение \(y'=0\): \(3x^2+32x+64=0\), откуда \(x=-8\) и \(x=-\frac{8}{3}\).

Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через меньший корень \(-8\), следовательно, в этой точке функция имеет максимум.

Значение функции: \(y(-8)=(-8)^3+16(-8)^2+64(-8)+12=12\).

Ответ: точка максимума — \(x=-8\) (на графике это точка \((-8; 12)\)).