№ 12. ABCD — четырёхугольник; диагонали AC и BD пересекаются в O. По отметкам AO = OC и BO = OD; CD = 10, ∠BAC = 42°, ∠BDC = 48°. Найти BC и ∠AOB.

Поскольку диагонали делятся точкой O пополам, ABCD — параллелограмм. Следовательно, AB ∥ CD.

Так как AB ∥ CD, угол между AB и BD равен ∠BDC: ∠ABO = 48°. Также ∠BAO = ∠BAC = 42°.

В треугольнике AOB: ∠AOB = 180° − 42° − 48° = 90°. Значит, диагонали параллелограмма перпендикулярны, поэтому ABCD — ромб.

Все стороны ромба равны, следовательно, BC = CD = 10.

Ответ: BC = 10, ∠AOB = 90°.