12. ABCD — ромб, G лежит на CD, BG — биссектриса угла B, ∠GDB = 54°. Найти ∠C, ∠GBD и ∠BGD.

Так как G лежит на стороне CD, луч DG совпадает с лучом DC. Поэтому ∠GDB = ∠CDB = 54°.

Диагональ BD делит угол D пополам:

∠D = 2 · 54° = 108°.

Противоположные углы ромба равны, значит ∠C = 180° − 108° = 72°.

По условию BG — биссектриса угла B. Поскольку ∠B = ∠D = 108°, получаем:

∠GBD = 108° : 2 = 54°.

В треугольнике BGD:

\(\angle BGD=180^\circ-54^\circ-54^\circ=72^\circ\).

Ответ: ∠C = 72°, ∠GBD = 54°, ∠BGD = 72°.