9. Дано: ABCD — ромб, O — точка пересечения диагоналей, AO = 3, угол между CD и диагональю DB равен 30°. Найти ∠C, ∠D и P_ABCD.

Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, поэтому AC = 2 · AO = 6.

Диагональ BD делит угол D пополам, следовательно, ∠D = 2 · 30° = 60°.

Противоположные углы равны, поэтому ∠C = 60°.

В прямоугольном треугольнике COD: CO = AO = 3, ∠CDO = 30°. Тогда

\(\tan 30^\circ = \frac{CO}{CD}\),

\(CD = \frac{3}{\tan 30^\circ} = 3\sqrt{3}\).

Периметр ромба:

\(P_{ABCD}=4CD=4\cdot3\sqrt3=12\sqrt3\).

Ответ: ∠C = 60°, ∠D = 60°, P_ABCD = 12√3.