№12. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 6.

Обозначим AD = BC = a. Поскольку M лежит на BC, отрезок BM параллелен AD. Биссектриса угла A даёт ∠BAM = ∠MAD; из параллельности BM и AD следует ∠AMB = ∠MAD. Значит, ∠BAM = ∠AMB и AB = BM.

Аналогично, из того, что DM — биссектриса угла D и BM ∥ AD, следует DM = BM. В треугольнике BMD имеем BM = DM, поэтому ∠MBD = ∠BDM. Из параллельности BC и AD следует, что ∠MBD = ∠BDA; биссектриса DM даёт ∠BDM = ∠MDA = ∠ADM. Следовательно, ∠BDA = ∠ADM, а значит, BD — биссектриса угла D. Вместе с DM это означает, что обе биссектрисы пересекаются на BC только при AD = 2AB: это также получается из их направления в параллелограмме, так как биссектрисы соседних углов перпендикулярны, а их пересечение на BC делит высоту пополам.

Итак, AD = 2 · 6 = 12. Периметр равен 2(AB + AD) = 2(6 + 12) = 36.

Ответ: 36.