12. Через концы диаметра АС окружности с центром в точке О проведены равны хорды ВС и АД. Докажите, что хорды ВС и АД параллельны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \).

1. \( AC \) — диаметр окружности.
2. Угол \( \angle ABC \) опирается на диаметр, поэтому \( \angle ABC = 90° \) (вписанный угол, опирающийся на полуокружность).
3. Угол \( \angle ADC \) опирается на диаметр, поэтому \( \angle ADC = 90° \) (вписанный угол, опирающийся на полуокружность).
4. Таким образом, \( \angle ABC = \angle ADC = 90° \).
5. По условию, \( BC = AD \) (равные хорды).
6. \( AC \) — общая гипотенуза для прямоугольных треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \).
7. По гипотенузе и катету (признак равенства прямоугольных треугольников), \( \triangle ABC = \triangle ADC \).
8. Следовательно, соответствующие углы равны: \( \angle BAC = \angle DCA \) и \( \angle BCA = \angle DAC \).
9. Рассмотрим углы \( \angle BCA \) и \( \angle DAC \). Они являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \( BC \) и \( AD \) секущей \( AC \).
10. Так как \( \angle BCA = \angle DAC \), то прямые \( BC \) и \( AD \) параллельны.

Что и требовалось доказать.