12. Дано: ABCD — параллелограмм (Рисунок 3), AM и DN — биссектрисы углов BAD и ADC, MN = 8 см, P_ABCD = 44 см. Найти стороны параллелограмма.

Обозначим AB = CD = x, AD = BC = y. Из периметра: x + y = 22.

Поскольку BC ∥ AD, биссектриса угла BAD образует равные углы с AB и BM. В треугольнике ABM отсюда AB = BM, то есть BM = x. Аналогично, поскольку AB ∥ CD, биссектриса угла ADC даёт в треугольнике CDN равенство CN = CD = x.

На стороне BC точки расположены в порядке B, M, N, C, поэтому MN = BC − BM − CN = y − 2x. По условию y − 2x = 8. Решаем систему: x + y = 22, y − 2x = 8. Вычитая второе равенство из первого, получаем 3x = 14, x = 14/3 см; y = 22 − 14/3 = 52/3 см.

Ответ: AB = CD = 14/3 см, BC = AD = 52/3 см.