12. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, M — середина отрезка AO. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AO}\); б) \(\overrightarrow{BO}=k\overrightarrow{BD}\); в) \(\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{CA}\); г) \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{DC}\); д) \(\overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{DA}\); е) \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{CA}\); ж) \(\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{AM}\); з) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{CM}\); и) \(\overrightarrow{AO}=k\overrightarrow{BD}\).

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, а противоположные стороны равны как векторы: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA}\).

1. Так как \(\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}\), то \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}\). Следовательно, а) \(k=2\).
2. Так как O — середина BD, \(\overrightarrow{BO}=\frac12\overrightarrow{BD}\). Следовательно, б) \(k=\frac12\).
3. Из \(\overrightarrow{OC}=\frac12\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}\) следует \(\overrightarrow{OC}=-\frac12\overrightarrow{CA}\). Следовательно, в) \(k=-\frac12\).
4. Для г) противоположные стороны равны как векторы, поэтому \(k=1\).
5. Для д) также \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA}\), поэтому \(k=1\).
6. Поскольку M — середина AO, \(\overrightarrow{AM}=\frac14\overrightarrow{AC}\). Тогда \(\overrightarrow{AM}=-\frac14\overrightarrow{CA}\), поэтому е) \(k=-\frac14\).
7. На диагонали точки расположены в порядке A–M–O–C, причём \(AM=\frac14 AC\), а \(MC=\frac34 AC\). Векторы \(\overrightarrow{MC}\) и \(\overrightarrow{AM}\) сонаправлены, поэтому ж) \(k=3\).
8. Так как \(\overrightarrow{CM}=-\frac34\overrightarrow{AC}\), получаем \(\overrightarrow{AC}=-\frac43\overrightarrow{CM}\). Следовательно, з) \(k=-\frac43\).
9. В общем параллелограмме диагонали AC и BD не обязаны быть коллинеарны. Поэтому и) такое число k существует не всегда; оно существует только если диагонали коллинеарны.

Ответ: а) 2; б) \(\frac12\); в) \(-\frac12\); г) 1; д) 1; е) \(-\frac14\); ж) 3; з) \(-\frac43\); и) не всегда возможно.