14. Докажите, что если векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) не коллинеарны, то: а) векторы \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a-\vec b\) не коллинеарны; б) векторы \(2\vec a-\vec b\) и \(\vec a+\vec b\) не коллинеарны; в) векторы \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a+3\vec b\) не коллинеарны.

Поскольку \(\vec a\) и \(\vec b\) не коллинеарны, равенство \(p\vec a+q\vec b=\vec 0\) возможно только при \(p=q=0\).

1. а) Если бы \(\vec a+\vec b=\lambda(\vec a-\vec b)\), то \((1-\lambda)\vec a+(1+\lambda)\vec b=\vec 0\). Отсюда одновременно \(1-\lambda=0\) и \(1+\lambda=0\), что невозможно.
2. б) Если бы \(2\vec a-\vec b=\lambda(\vec a+\vec b)\), то \((2-\lambda)\vec a+(-1-\lambda)\vec b=\vec 0\). Получились бы условия \(\lambda=2\) и \(\lambda=-1\), что невозможно.
3. в) Если бы \(\vec a+\vec b=\lambda(\vec a+3\vec b)\), то \((1-\lambda)\vec a+(1-3\lambda)\vec b=\vec 0\). Отсюда \(\lambda=1\) и \(\lambda=\frac13\) одновременно, что невозможно.

Следовательно, во всех трёх пунктах указанные пары векторов не коллинеарны.