12. Доказать, что при каждом натуральном n число n⁴/24 + n³/4 + 11n²/24 + n/4 является натуральным.

Приведём слагаемые к общему знаменателю:

\(\displaystyle \frac{n^4}{24}+\frac{n^3}{4}+\frac{11n^2}{24}+\frac n4=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}\).

Числитель раскладывается на множители: \(n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n+1)(n+2)(n+3)\).

Поэтому данное число равно \(\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}=\binom{n+3}{4}\). Это число сочетаний четырёх элементов из \(n+3\), а значит, натуральное при каждом натуральном \(n\).

Ответ: число натуральное при каждом натуральном \(n\).