16. Пусть a — действительное число, причём a + 1/a — целое. Доказать, что при любом натуральном n число aⁿ + 1/aⁿ также целое.

Поскольку выражение \(1/a\) определено, \(a\ne0\). Обозначим целое число \(a+1/a\) через \(m\), а \(a^k+1/a^k\) — через \(T_k\).

База: \(T_1=m\) — целое. Кроме того, \(T_0=2\) — целое.

Для \(k\ge1\) выполним умножение и вычитание:

\(\displaystyle mT_k=\left(a+\frac1a\right)\left(a^k+\frac1{a^k}\right)=a^{k+1}+\frac1{a^{k+1}}+a^{k-1}+\frac1{a^{k-1}}=T_{k+1}+T_{k-1}\).

Отсюда \(T_{k+1}=mT_k-T_{k-1}\). Если \(T_k\) и \(T_{k-1}\) целые, то и \(T_{k+1}\) целое. По индукции \(T_n\) целое для любого натурального \(n\).

Ответ: \(a^n+1/a^n\) — целое число при любом натуральном \(n\).