14. Найти все натуральные n, для которых справедливо неравенство 5ⁿ > 5n³ + 2.

При \(n=1,2,3\) неравенство неверно: соответственно \(5<7\), \(25<42\), \(125<137\). При \(n=4\) оно верно: \(625>322\).

Докажем, что оно верно для всех \(n\ge4\). Пусть \(5^n>5n^3+2\). Тогда \(5^{n+1}>25n^3+10\). Для \(n\ge4\):

\(25n^3+10-(5(n+1)^3+2)=20n^3-15n^2-15n+3>0\).

Значит, \(5^{n+1}>5(n+1)^3+2\), и утверждение следует по индукции.

Ответ: все натуральные \(n\ge4\).