13. Найти все натуральные n, для которых справедливо неравенство 2ⁿ > n².

Проверим первые значения: при \(n=1\) имеем \(2>1\); при \(n=2,3,4\) неравенство неверно: \(4=4\), \(8<9\), \(16=16\).

Докажем, что оно верно для всех \(n\ge 5\), методом индукции. База: \(2^5=32>25=5^2\).

Переход: пусть \(2^n>n^2\), где \(n\ge5\). Тогда \(2^{n+1}>2n^2\). При этом \(2n^2>(n+1)^2\), поскольку \(n^2-2n-1>0\) при \(n\ge5\). Следовательно, \(2^{n+1}>(n+1)^2\).

Ответ: \(n=1\) или любое натуральное \(n\ge5\).